wiskundige benadering:
We hebben een verzameling V van dingen die we vectoren noemen en een verzameling F van dingen die we scalars noemen en we weten niets over die dingen behalve dat ze aan een aantal eigenschappen voldoen (...def 1.1.1)
vraag: wat kunnen we dan over die vectoren en die scalars zeggen?
werkwijze: we voeren een aantal concepten in: vrij deel (lineaire afhankelijkheid ), voortbrengend deel, basis, dimensie, coordinaten.
praktischere benadering:
In de praktijk is een vectorruimte een verzameling dingen die we met coordinaten kunnen beschrijven (waarbij de ``coordinaatgetallen'' alle waarden van een veld kunnen aannemen, typisch R, en waarbij de optelling van die coordinaten en vermenigvuldiging met een scalar betekenis heeft voor de toepassing). Vaak bestaat de vectorruimte gewoon uit alle lineaire combinaties van een gegeven stel objecten die dan een voor de hand liggende basis vormen.
 
Toch is het vaak van belang (bijvoorbeeld als we over coordinatentransformaties nadenken) terug te kunnen vallen op de achterliggende theorie (waarin over vectoren gesproken wordt onafhankelijk van coordinaten.)