Bijkomende inzichten bij hoofdstuk 1

Op deze pagina proberen we je meetkundige intuïtie aan te scherpen, door definities en stellingen die gegeven worden voor algemene vectorruimten uit te werken aan de hand van het voorbeeld Rⁿ, of liefst zelfs R³ en R² die we ons visueel kunnen voorstellen. Aan het eind van paragraaf 1.1.2 zal deze nauwere kennismaking met Rⁿ een nuttige investering blijken, omdat elke vectorruimte isomorf is met Rⁿ zodat we altijd in Rⁿ kunnen gaan denken.

Let wel op dat je je niet alleen op dit voorbeeld concentreert. In de cursus staan tal van andere voorbeelden van vectorruimten uitgewerkt. Het is niet alleen de bedoeling met Rⁿ vertrouwd te raken, maar ook dat je weet hoe je je intuïtie voor Rⁿ kunt gebruiken in andere vectorruimten.

We willen je ook nu al waarschuwen dat overschakelen van een willekeurige vectorruimte op Rⁿ altijd betekent dat je werkt met coordinaten t.o.v. een gekozen basis. Als we later over basisveranderingen spreken is het van belang in het achterhoofd te hebben dat we ook over vectoren kunnen spreken zonder met coördinaten te werken.

Inzicht bij definitie 1.1.1

Zie voorbeeld 1.1.1 in de cursus. Ga na dat deze vijf voorwaarden opgaan voor R³ en Rⁿ.

Inzicht bij definitie 1.1.3

In R³ komen deelruimten overeen met vertrouwde meetkundige begrippen. Ze zijn te klasseren in vier groepen; we lopen hier even vooruit op het begrip dimensie van een vectorruimte (definitie 1.2.5)

deelruimte van dimensie 0: de oorsprong
deelruimte van dimensie 1: rechte door de oorsprong
deelruimte van dimensie 2: vlak door de oorsprong
deelruimte van dimensie 3: heel R³

Opgelet!

Deelruimten moeten de oorsprong bevatten. Een vlak of rechte die niet door de oorsprong gaat is dus geen deelruimte (wel een affiene varieteit, zie paragraaf 3.6)

Inzicht bij stelling 1.1.1

Ga na dat in R³ deze definitie voldaan is voor rechten en vlakken door de oorsprong.

Inzicht bij definitie 1.2.1, 1.2.2 en 1.2.3

Het is van belang dat je wat meetkundige intuitie ontwikkelt omtrent lineaire afhankelijkheid en vrije en voortbrengende delen. Stel u een stel van twee lineair onafhankelijke vectoren in de ruimte voor. Welke deelruimte brengen deze vectoren voort? Wat wordt voortgebracht (we zeggen ook opgespannen) als we een derde vector toevoegen die lineaire afhankelijk is? Wat als die derde vector lineair onafhankelijk is. Als we die derde vector willekeurig kiezen, zal die dan meestal lineair afhankelijk zijn of onafhankelijk?

Inzicht bij stelling 1.2.1

Ga deze stelling na op enkele ruimtelijke voorbeelden. Stel u bijvoorbeeld een voortbrengend deel voor van een vlak door de oorsprong in de ruimte. Probeer 1 van de vectoren te vervangen door een nieuwe vector. Hoe kun je die vector kiezen zodat je nog steeds een voortbrengend deel van hetzelfde vlak bekomt?

Inzicht bij stelling 1.2.4

Intuïtief:

Isomorf	= gelijke structuur
	= gelijk op een zeker niveau van abstractie
	= gelijk maar de rollen worden gespeeld door andere bewerkingen en andere elementen

Isomorfisme=bijectie die een element in de ene algebra afbeeldt op het element dat dezelfde rol speelt in de andere (isomorfe) algebra.

Meer wiskundig (voor een inwendige wet * in een algebra <A,*> die overeenkomt met een uitwendige wet # in de isomorfe algebra <B,#>):

``een bewerking * uitvoeren op twee elementen a en b in de ene algebra A en dan via het isomorfisme j vertalen naar de andere algebra B'' (j(a*b))

levert hetzelfde resultaat als

``de elementen a en b eerst vertalen naar de andere algebra B en dan de overeenkomstige bewerking # uitvoeren in die andere algebra B (j(a)#j(b))''

Een isomorfisme draagt dus structuur over van 1 verzameling naar een andere. Als we bijvoorbeeld een deelruimte hebben in een vectorruimte dan wordt die door een isomorfisme afgebeeld op een deelruimte van dezelfde dimensie in een andere vectorruimte.

Inzicht bij definitie 1.4.2

Figuur 1.4.2b Deze figuur is een variatie van figuur 1.4.2 die meer beroep doet op je meetkundige intuitie. De figuur geeft een nog ruw maar belangrijk idee van wat een lineaire afbeelding juist doet.

We beschouwen een afbeelding van een 4-dimensionalse bronruimte V naar een 3-dimensionale doelruimte W. De 4 vectoren links stellen een basis voor van een 4-dimensionale bronruimte V (op een 2-dimensionale voorstelling kunnen we natuurlijk niet zien dat de 4 vectoren onafhankelijk zijn, maar we doen een beroep op je verbeelding). Twee van die vier vectoren, a₃ en a₄ vormen een basis van de tweedimensionale kern die op 0 wordt afgebeeld. De andere twee, a₁ en a₂, zijn gekozen (en bijna vrij te kiezen) om samen met die basis van de kern een basis van de hele bronruimte te bekomen.

Het beeld van f wordt gevormd door lineaire combinaties van de beelden van a₁ tot a₄. Omdat a₃ en a₄ op 0 worden afgebeeld, volstaan de beelden van a₁ en a₂. Deze zijn b₁ en b₂ genoemd en vormen dus een voortbrengend deel voor
Ran f.
b₃ is een derde vector die de basis van Ran f uitbreidt tot een basis van de hele doelruimte W.

Inzicht bij stelling 1.4.4

Figuur 1.4.2b geeft ook een visuele voorstelling van Stelling 1.4.4 en dit is een ideale gelegenheid om vertrouwd te geraken met wat je zoal op de figuur kunt aflezen. Stelling 1.4.4. zegt dat dim Ker f + dim Ran f = dim V. We kunnen dit gemakkelijk zien in de bronruimte: we hebben twee basisvectoren a₃ en a₄ in de kern, wat oveenkomt met dim Ker f=2. Opdat de stelling zou opgaan moeten de dimensie van het beeld, Ran f, dus overeenkomen met het aantal van de overige vectoren a₁ en a₂. Op de figuur klopt dit gezien a₁ en a₂ via f overeenkomen met b₁ en b₂ in Ran f. We moeten alleen nog tonen dat b₁ en b₂niet alleen een voortbrengend deel maar ook een basis vormen (anders zou dim Ran f < 2). Welnu, als b₁ en b₂ lineair afhankelijk zouden zijn, zou een lineaire combinatie r b₁ + s b₂ = 0 moeten leveren met r en s niet beide 0. Dit kan niet omdat dan r a₁ + s a₂ op nul zou afgebeeld worden en dus in de kern zou moeten zitten, terwijl we a₁ en a₂juist buiten de kern gekozen hadden.