1.1 Vectorruimte

Snel menu
Definitie 1.1.1, definitie vectorruimte
Definitie 1.1.2, definitie lineaire combinatie
Definitie 1.1.3, definitie deelruimte
Stelling 1.1.1, "deelruimte stelling"

Definitie 1.1.1 De verzameling V met elementen $\bf v,w \ldots$ $\in$ V die vectoren genoemd worden, en het veld $\langle$ F, + ,^. met elementen r, s... $\in$ F die scalars genoemd worden, is een vectorruimte $\langle$ F, V, + $\rangle$ als en slechts als

V1 V, + is een commutatieve groep

V1 en de scalaire vermenigvuldiging op V, FxV $\rightarrow$ V, heeft de eigenschappen:

V2 r( $\bf v$ + $\bf w$ ) = r $\bf v$ + r $\bf w$

V3 (r + s) $\bf v$ = r $\bf v$ + s $\bf v$

V4 s(r $\bf v$ ) = (sr) $\bf v$

V5 1 $\bf v$ = $\bf v$ .

Voorbeeld 1.1.1

Eigenschappen: Gegeven een vectorruimte $\langle$ F, V, + $\rangle$ , dan is

$\bf v-w=v+(-w)$ , $\bf v,w$ $\in$ V

(r = 0 $\vee$ $\bf v=0$ ) $\Leftrightarrow$ r $\bf v=0$ , r $\in$ F, $\bf v$ $\in$ V
- r $\bf v$ = (- r) $\bf v$ = r( $\bf -v$ ), r $\in$ F, $\bf v$ $\in$ V

Definitie 1.1.2 Gegeven een vectorruimte $\langle$ F, V, + $\rangle$ en D = { $\bf v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}$ } een eindig niet-leeg deel van V dan is $\bf v$ een lineaire combinatie van D als en slechts als

$\displaystyle \exists$ (a₁, a₂,..., a_n) $\displaystyle \in$ Fⁿ : $\displaystyle \bf v$	= a₁v₁ + a₂v₂ + ^...+ a_nv_n = $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$ a_i $\displaystyle \bf v_{i}$
	= $\displaystyle \sum_{i \in \{1, \ldots, n\}}^{}$ a_iv_i.

Een lineaire combinatie van D heet niet-triviaal als niet alle a_i = 0.
Men kan nagaan of een lineaire combinatie enig is: $\displaystyle \bf v$ = a₁v₁ + a₂v₂ + ^...+ a_nv_nen $\displaystyle \bf v$ = b₁v₁ + b₂v₂ + ^...+ b_nv_n $\displaystyle \Longleftrightarrow$ (a₁, a₂,..., a_n) = (b₁, b₂,..., b_n) Als D een verzameling van (eventueel oneindig veel) vectoren, m.a.w. D = { $\bf v_{\alpha}$ | $\alpha$ $\in$ $\Gamma$ }, dan is vector $\bf v$ een lineaire combinatie van D als $\displaystyle \bf v$ = $\displaystyle \sum_{\alpha \in \Gamma}^{}$ a $\scriptstyle \alpha$ $\displaystyle \bf v_{\alpha}$ , a $\scriptstyle \alpha$ $\displaystyle \in$ F, $\displaystyle \forall$ $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \in$ $\displaystyle \Gamma$ Eigenschap: Een lineaire combinatie van lineaire combinaties van D is een lineaire combinatie van D.

Definitie 1.1.3 $\langle$ F, A, + $\rangle$ is een deelruimte van de vectorruimte $\langle$ F, V, + $\rangle$ als en slechts als A $\subseteq$ V en $\langle$ F, A, + $\rangle$ is een vectorruimte.

$\langle$ F,{0}, + $\rangle$ en $\langle$ F, V, + $\rangle$ zijn triviale deelruimten van $\langle$ F, V, + $\rangle$ .
Soms zeggen we ook kortweg ``A is een deelruimte van V'' in plaats van $\langle$ F, A, + $\rangle$ is een deelruimte van $\langle$ F, V, + $\rangle$ .

Stelling 1.1.1 Gegeven de vectorruimte $\langle$ F, V, + $\rangle$ en de deelverzameling D $\subseteq$ V dan geldt het volgende

$\displaystyle \mbox{$D$\ bepaalt een deelruimte van $V$}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \forall$ r, s $\displaystyle \in$ F, $\displaystyle \forall$ $\displaystyle \bf v,w$ $\displaystyle \in$ D : r $\displaystyle \bf v$ + s $\displaystyle \bf w$ $\displaystyle \in$ D

m.a.w. D bevat elke lineaire combinatie van twee willekeurige elementen van D.

Bewijs