1.2 Basis en dimensie

Snel menu  
Definitie 1.2.1, definitie lineair afhankelijk
Definitie 1.2.2, definitie voortbrengend deel
Definitie 1.2.3, definitie vrij deel
Stelling 1.2.1
Definitie 1.2.4
Stelling 1.2.2
Definitie 1.2.5
Stelling 1.2.3
Definitie 1.2.6
Stelling 1.2.4
Werken met concrete voorstellingen van stellen vectoren
Een zeer belangrijk begrip is de dimensie van een vectorruimte. Om tot dit begrip te komen, zullen we eerst lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid van een stel vectoren definiëren. Daarna geven we de voorwaarden aan opdat dat stel een voortbrengend deel of een vrij deel zou zijn. Het samengaan van deze voorwaarden zal leiden tot het belangrijke begrip basis, wat rechtstreeks de dimensie zal aangeven. Tot slot vermelden we nog wat een canonieke basis is en wat coördinaten van een vector zijn.
 
 
Definitie 1.2.1   Gegeven een vectorruimte $ \langle$F, V, + $ \rangle$ 
Het stel vectoren D = {$ \bf v_{\alpha}^{}$ | $ \alpha$$ \in$$ \Gamma$} wordt lineair afhankelijk genoemd indien $ \bf0$ een niet-triviale lineaire combinatie is van D, dus indien $ \sum_{\alpha \in \Gamma}^{}$a$\scriptstyle \alpha$$ \bf v_\alpha$ = $ \bf0$ en niet alle a$\scriptstyle \alpha$ = 0.

Gevolgen:
  1. Het is duidelijk dat indien het deelstel A $ \subseteq$D lineair afhankelijk is, automatisch ook D lineair afhankelijk is.
  2. Eén enkele vector $ \bf v$ is lineair afhankelijk als en slechts als $ \bf v=0$.
  3. Twee vectoren $ \bf x$ en $ \bf y$ zijn lineair afhankelijk als en slechts als $ \bf y$ = a$ \bf x$ voor a $ \in$F.
  4. Elk stel van vectoren dat de nulvector bevat is lineair afhankelijk.
 
Definitie 1.2.2   Gegeven een vectorruimte $ \langle$F, V, + $ \rangle$ 
D$ \subseteq$V is een voortbrengend deel van V als elke vector van V een lineaire combinatie is van elementen van D.

De vectorruimte voortgebracht door {$ \bf v_{\alpha}$ | $ \alpha$$ \in$$ \Gamma$} noteren we in het vervolg als 
vect{$\displaystyle \bf v_{\alpha}$ | $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \in$$\displaystyle \Gamma$} = {$\displaystyle \sum_{\alpha \in \Gamma}^{}$a$\scriptstyle \alpha$$\displaystyle \bf v_{\alpha}$ | a$\scriptstyle \alpha$$\displaystyle \in$F,$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \in$$\displaystyle \Gamma$}
D is een voortbrengend deel van V$ \Leftrightarrow$ vectD = V.

De kleinste deelruimte van een vectorruimte $ \langle$F, V, + $ \rangle$ is {$ \bf0$}.
 
Definitie 1.2.3   Gegeven een vectorruimte $ \langle$F, V, + $ \rangle$ 
Een stel vectoren D = {$ \bf v_{\alpha}$ | $ \alpha$$ \in$$ \Gamma$} heet lineair onafhankelijk of vrij indien het niet lineair afhankelijk is, d.w.z. dat geen enkele vector $ \bf v$$ \in$D te schrijven valt als een niet-triviale combinatie van de andere vectoren in D. 
Dus indien $ \sum_{\alpha \in \Gamma}^{}$a$\scriptstyle \alpha$$ \bf v_{\alpha}$ = $ \bf0$$ \Rightarrow$a$\scriptstyle \alpha$ = 0 $ \forall$$ \alpha$$ \in$$ \Gamma$.

Gevolg: Elk deelstel A$ \subseteq$D van een stel lineair onafhankelijke vectoren D is lineair onafhankelijk.

Een vrij deel A kan uitgebreid worden met een vector $ \bf p$ uit V$ \setminus$ vectA (als die vector bestaat; $ \setminus$ betekent hier ``min'' in de betekenis van verzamelingen). Aangezien $ \bf p$ onafhankelijk is van de vectoren uit A, behoudt men een vrij deel. Zo kan men vectoren blijven toevoegen tot V$ \setminus$ vectA leeg is. Het vrije deel is dan ook een voortbrengend deel geworden.
Omgekeerd kan men in een voortbrengend deel de vectoren schrappen die een lineaire combinatie zijn van de andere vectoren (tot de overblijvende vectoren onafhankelijk zijn geworden). Op die manier is het voortbrengend deel ook een vrij deel geworden.
Men kan dus altijd een stel vectoren construeren dat zowel een voortbrengend als een vrij deel is, verder zullen we dit stel een basis noemen. Eerst volgt nog een stelling waaruit blijkt dat zo'n basis zeker niet enig is.
 
Stelling 1.2.1   Als A = {$ \bf v_{\alpha}$ | $ \alpha$$ \in$$ \Gamma$} een voortbrengend (resp. vrij) deel is van V en $ \bf p$ = $ \sum_{\alpha \in \Gamma}^{}$a$\scriptstyle \alpha$$ \bf v_{\alpha}$ met a$\scriptstyle \beta$$ \neq$ 0, dan is A$ \setminus$ {$ \bf v_{\beta}$} $ \cup$ {$ \bf p$} ook een voortbrengend (resp. vrij) deel van V. 
In woorden: als in een voortbrengend (resp. vrij) deel A een vector wordt vervangen door een lineaire combinatie van A, dan blijft A een voortbrengend (resp. vrij) deel als in die lineaire combinatie de coëfficiënt van de te vervangen vector verschilt van nul

Bewijs

Zoals aangekondigd, definiëren we het begrip basis.
 
Definitie 1.2.4   Gegeven een vectorruimte $ \langle$F, V, + $ \rangle$ 
Een stel vectoren B = {$ \bf e_{\alpha}$ | $ \alpha$$ \in$$ \Gamma$} is een basis voor V indien B tegelijk een vrij deel en een voortbrengend deel is van V.

Om tot het begrip dimensie van een vectorruimte te komen, steunen we op de stelling van Grassman.
 
Stelling 1.2.2   Grassman 
Gegeven een vectorruimte $ \langle$F, V, + $ \rangle$ 
Een eindig voortbrengend deel B van V kan zeker niet minder elementen bevatten dan een vrij deel A van V.

Bewijs

Gevolg: Twee eindige basissen van eenzelfde vectorruimte bevatten evenveel elementen.
 
Definitie 1.2.5   Gegeven een vectorruimte $ \langle$F, V, + $ \rangle$ en een basis B. 
Het aantal basisvectoren in B wordt de dimensie van V genoemd. We schrijven dim V = n als n de dimensie van V is. Indien een vectorruimte geen eindig voortbrengend deel heeft dan zegt men dat de dimensie oneindig is.

Opmerking: Men kan gemakkelijk nagaan dat in de vectorruimte $ \langle$$ \mathbb {R}$,$ \mathbb {R}$n, + $ \rangle$ van n-koppels de vectoren $ \bf e_{i}$ = (0, 0,..., 1,..., 0) met een 1 op de i-de positie en met i = 1, 2,..., n een basis vormen. Deze basis noemt men een canonieke basis. De basis {(1, 0),(0, 1)} is de canonieke basis in het vlak $ \mathbb {R}$2 en {(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)} is de canonieke basis in de ruimte $ \mathbb {R}$3.
 
Stelling 1.2.3   Gegeven een vectorruimte $ \langle$F, V, + $ \rangle$ en B = {$ \bf v_{\alpha}$ | $ \alpha$$ \in$$ \Gamma$} 
B is een basis van V$ \Leftrightarrow$ elke vector van V is op precies één manier een lineaire combinatie van B.

Bewijs
Voorbeeld 1.2.1
 
Definitie 1.2.6   Gegeven in een vectorruimte $ \langle$F, V, + $ \rangle$ een basis B = {$ \bf e_{\alpha}$ | $ \alpha$$ \in$$ \Gamma$}. 
Elke vector $ \bf v$ van V kan geschreven worden als $ \bf v$ = $ \sum_{\alpha \in \Gamma}^{}$a$\scriptstyle \alpha$$ \bf e_{\alpha}$ met a$\scriptstyle \alpha$$ \in$F uniek bepaald door $ \bf v$. We noemen (a$\scriptstyle \alpha$)$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \Gamma$ de coördinaten van $ \bf v$ t.o.v. B. Voor een eindigdimensionale vectorruimte wordt deze afbeelding  
V$\displaystyle \rightarrow$Fn : $\displaystyle \bf v$ = a1 e1 + a2 e2 + ... + an en$\displaystyle \mapsto$ (a1, a2,..., an)
en we noemen (a1, a2,..., an) de coördinaten van $ \bf v$ t.o.v. de basis B. De volgorde waarin elke vector$ \bf e_{i}$ in aanmerking komt voor een coëfficiënt ai is hier belangrijk. Telkens als het begrip coördinaat optreedt is het dan ook gebruikelijk de basis B te noteren als $ \bf\{e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\}$.

De begrippen dimensie, basis en coördinaten zijn zeer belangrijk voor de verdere studie van matrices en lineaire afbeeldingen en voor vele ingenieurstoepassingen. Het is nuttig hier ook op te merken dat eindigdimensionale vectorruimten in feite volledig bepaald worden door hun dimensie en het veld F van de scalars.
 
Stelling 1.2.4   Voor iedere n-dimensionale vectorruimte V over het veld F van scalars is de afbeelding V$ \rightarrow$$ \mathbb {R}$n : v = $ \sum_{i=1}^{n}$aiei$ \rightarrow$ (a1, a2...an) een bijectie en V is isomorf met de vectorruimte van de n-koppels Fn.

Bewijs

Gevolg: Twee eindigdimensionale vectorruimten over het veld F van scalars zijn isomorf als ze dezelfde dimensie hebben.

Uit deze stelling zou de lezer de opmerking kunnen maken dat de abstracte afleidingen voor n-dimensionale vectorruimten niet nodig waren, en dat het voldoende was de meer concrete vectorruimte Fn van n-koppels over F te beschouwen. Hoewel het inoefenen van het abstract denken reeds een voldoende argument is om deze abstracte aanpak te motiveren, ook voor ingenieurs, zijn er toch belangrijke praktische voordelen. Vooreerst blijkt het regelmatig dat er lagerdimensionale deelruimten van een n-dimensionale ruimte nuttig zijn. Zo is bijvoorbeeld het vlak 

{(a + b, 2b, 3b) | a, b$\displaystyle \in$$\displaystyle \mathbb {R}$}
in $ \mathbb {R}$3 isomorf met (a, b) $ \in$$ \mathbb {R}$2. Door enkel $ \mathbb {R}$2 te beschouwen ``verliezen'' we de informatie van de relatieve plaatsing van dit vlak in de driedimensionale ruimte. Ten tweede zijn de afleidingen, begrippen en de bewijzen niet eenvoudiger te geven voor n-koppels dan voor abstracte n-dimensionale ruimten. Daarenboven worden heel wat notaties in een basis ingewikkelder en onoverzichtelijker omdat er elementen in zitten die te maken hebben met de basis en elementen die te maken hebben met de deelruimte. Ten derde laat deze abstracte aanpak toe onafhankelijk van het coördinatensysteem te redeneren. Herinner uit de vlakke analytische meetkunde dat de vergelijking 
7x2 - 8xy + y2 - 50x + 26y + 79 = 0
door een coördinatentransformatie een veel eenvoudigere uitdrukking 9X2 - Y2 + 9 = 0 wordt. Er zullen nog meer dergelijke situaties voorkomen bij de lineaire afbeeldingen en de driedimensionale analytische meetkunde. Tenslotte zijn er belangrijke vectorruimten die niet eindig dimensionaal zijn en die niet kunnen beschouwd worden als n-koppels zoals functieruimten, veeltermen, sequenties,... Als een interessante en mooie illustratie van deze abstracte aanpak behandelen we nu het rekenen met deelruimten.

Werken met concrete voorstellingen van stellen vectoren

Tot hiertoe hebben we gewerkt in algemene deelruimten en gezien hoe we op een concrete voorstelling kunnen overschakelen door middel van coordinaten. Hier bekijken we hoe we stelling 1.2.1 kunnen gebruiken om een voortbrengend deel, dat gegeven is onder de vorm van coordinaten, om te zetten in een basis die dezelfde deelruimte voortbrengt. Dit komt onder andere aan bod in oefening 1.1.34.
Hiertoe gebruiken we operaties op een stel vectoren, die in de cursus pas aan bod komen in paragraaf 3.2 in de context van het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen. Omdat vergelijkingen meestal als rijen in een matrix worden voorgesteld, zullen we vectoren hier ook voorstellen als matrices waarvan de rijen overeenkomen met de coordinaten van de verschillende vectoren. We voeren dan op die vectoren operaties uit die precies overeenkomen met de operaties op vergelijkingen en de stapsgewijze omzetting van een matrix in naar rij-echelonvorm in paragraaf 3.2.
De vier elementaire operaties vind je terug in definitie 3.2.2. We herformuleren deze operaties in termen van matrix-rijen (i.p.v. vergelijkingen).
  1. verwisselen van twee rijen (d.w.z. vectoren)
  2. vermenigvuldiging van een rij met een van nul verschillend getal
  3. vervangen van een rij door die rij min (of plus) een aantal keer een andere rij.
  4. het (toevoegen of) weglaten van een 0-rij
In definitie 3.2.3 wordt de rij-echelonvorm gedefinieerd en daaronder volgt een algoritme om met behulp van de 4 elementaire operaties de echelonvorm af te leiden. Ga zelf na dat na elke operatie, de rijen van de matrix nog steeds dezelfde deelruimte voortbrengen. Voor operaties 1,2 en 4 spreekt dit voor zich. Voor operatie 3 steunen we op stelling 1.2.1

Als de rijen van de matrix een stel vectoren voorstellen dat een deelruimte V voortbrengt, dan brengen de rijen van de echelonvorm (of liever, de overeenkomstige vectoren) nog steeds dezelfde deelruimte voort. Maar nu weten we zeker dat de van 0 verschillende rijen lineair onafhankelijk zijn, en dus een basis vormen. Het aantal van 0 verschillende rijen komt dan overeen met de dimensie.

Als onderdeel van oefening 1.1.34 zullen we voortbrengende delen op die manier uitzuiveren tot een basis.