1.3 Rekenen met deelruimten

Snel menu  
Definitie 1.3.1, definitie doorsnede en lineaire som van vectorruimten
Stelling 1.3.1  
Stelling 1.3.2, dimensiestelling  
Rekenen met concrete voorstelling van deelruimten

 
Definitie 1.3.1   Gegeven twee deelruimten X en W van een vectorruimte V.
X$ \cap$W wordt de doorsnede genoemd en X + W = {$ \bf x+w\mid x$$ \in$X,$ \bf w$$ \in$W} de lineaire som.

 
Stelling 1.3.1   Gegeven twee deelruimten X en W van een vectorruimte V.
Zowel X$ \cap$W als X + W zijn deelruimten van V.

Bewijs
Voorbeeld 1.3.1
Voorbeeld 1.3.2
 
Stelling 1.3.2   Gegeven twee deelruimten X en W in een eindigdimensionale vectorruimte V, dan geldt
dimX + dimW = dim(X + W) + dim(X$ \cap$W).
 
Bewijs
 

Rekenen met concrete voorstelling van deelruimten

In deze paragraaf hebben we de doorsnede en som van deelruimten gedefinieerd voor algemene deelruimten. In de praktijk zullen we werken met concrete voorstellingen van deelruimten. Hier bekijken we hoe we de doorsnede en een som van deelruimten effectief kunnen bereken indien die deelruimten concreet gegeven zijn door een voortbrengend deel of een homogeen stelsel.

Twee typische manieren om een deelruimte concreet weer te geven zijn

  1. door middel van een voortbrengend deel (liefst een basis) van de deelruimte,
  2. door middel van een homogeen stelsel met die deelruimte als oplossing.
We kunnen gemakkelijk omschakelen van de ene voorstelling naar de andere: Als we werken met voorstelling 1. kunnen we gemakkelijk de som van twee deelruimtes berekenen. Hiertoe hoeven we slechts de voortbrengende delen samen te brengen. Zo verkrijgen we een voortbrengend deel van de som (ga zelf na dat dit klopt). Indien we een basis wensen, kunnen we dit voortbrengend deel uitzuiveren zoals besproken op het einde van paragraaf 1.2.

In oefening 1.1.34 wordt de berekening van een som en een doorsnede van deelruimten gevraagd, die gegeven zijn door voortbrengende delen.

Ook in oefening  1.1.14 komt een som van deelruimten voor.