1.4 Lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten

Snel menu
Definitie 1.4.1, definitie lineaire afbeelding
Definitie 1.4.2, definitie beeld en kern
Stelling 1.4.1
Stelling 1.4.2
Stelling 1.4.3
Stelling 1.4.4

Naast vectorruimten zijn de lineaire afbeeldingen ook zeer belangrijke begrippen zowel voor het inzicht als de toepassingen. Dit zijn afbeeldingen van een vectorruimte naar een andere die de bewerkingen van vectorsom en vermenigvuldiging met een scalar van de ene ruimte naar de andere bewaren. Hoewel dit voor het eendimensionale geval zeer eenvoudige functies zijn, namelijk f (x) = ax, zijn deze vooral voor meerdimensionale gevallen nuttig. Denk maar aan de vele voorbeelden in het eerste deel.

Definitie 1.4.1 Gegeven twee vectorruimten $\langle$ F, V, + $\rangle$ en $\langle$ F, W, + $\rangle$ .
De afbeelding f : V $\rightarrow$ W is een lineaire afbeelding

$\displaystyle \Leftrightarrow$		$\displaystyle \forall$ $\displaystyle \bf x,y$ $\displaystyle \in$ V en $\displaystyle \forall$ r, s $\displaystyle \in$ F : f(r $\displaystyle \bf x$ + s $\displaystyle \bf y$ ) = r f( $\displaystyle \bf x$ ) + s f( $\displaystyle \bf y$ )
$\displaystyle \Leftrightarrow$		$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll}\forall {\bf x,y} \in V: \; \......{\bf x}) = r \mbox{\rm f}({\bf x})& \mbox{(homogeniteit)}.\end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ll}\forall {\bf x,y} \in V: \; \mbox{\rm f}({\bf x......\rm f}(r{\bf x}) = r \mbox{\rm f}({\bf x})& \mbox{(homogeniteit)}.\end{array}$

Als V = W, dan heet f een lineaire transformatie van V. Als W = $\mathbb {R}$ , dan heet f een lineaire vorm over V. We duiden de verzameling van de lineaire afbeeldingen van V op W aan met Lin(V, W)
Lin(V, W) = { f : V $\displaystyle \rightarrow$ W | f is lineair}.

**Figuur 1.4.1:** Een lineaire afbeelding van V naar W.
$\begin{figure}\begin{center}\begin{picture}(350,90)(0,40)\put(100,110){\vect......0){\circle{3}}\put(100,50){\circle{3}}\end{picture}\end{center}\end{figure}$

Voorbeeld 1.4.1
Eigenschappen: Beschouw de lineaire afbeeldingen f en g: V $\rightarrow$ W dan zijn ook rf en f + g lineaire afbeeldingen waarbij

f + g : V $\displaystyle \rightarrow$ W : $\displaystyle \bf v$ $\displaystyle \mapsto$ (f + g)( $\displaystyle \bf v$ ) = f( $\displaystyle \bf v$ ) + g( $\displaystyle \bf v$ )

rf : V $\displaystyle \rightarrow$ W : $\displaystyle \bf v$ $\displaystyle \mapsto$ (rf)( $\displaystyle \bf v$ ) = r f( $\displaystyle \bf v$ )

Definitie 1.4.2 Gegeven een lineaire afbeelding f : V $\rightarrow$ W tussen twee vectorruimten V en W met respectievelijk neutrale elementen $\bf0$ en $\bf0'$ .
Het beeld of bereik van f = Ran f = f(V) = { $\bf y$ $\in$ W | $\exists$ $\bf x$ $\in$ V : f( $\bf x$ ) = $\bf y$ }.
De kern van f = Ker f = f^-1{ $\bf0'$ } = { $\bf x$ $\in$ V | f( $\bf x$ ) = $\bf0'$ }.

**Figuur 1.4.2:** Ran f en Ker f.
$\begin{figure}\begin{center}\begin{picture}(350,120)(0,20)\put(100,80){\oval......){150}}\put(100,143){\vector(4,-1){150}}\end{picture}\end{center}\end{figure}$

Eigenschappen: Men kan gemakkelijk aantonen dat het bereik en de kern van f respectievelijk deelruimten zijn van W en V.

Opmerking: Als V en W eindigdimensionale vectorruimten zijn kan men ook rang en corang van een lineaire afbeelding f definiëren

rang f = dim Ran f en corang f = dim Kerf

Stelling 1.4.1 Gegeven de vectorruimten $\langle$ F, V, + $\rangle$ en $\langle$ F, W, + $\rangle$ .
$\langle$ F, Lin(V, W), + $\rangle$ is ook een vectorruimte.

Bewijs

Stelling 1.4.2 Gegeven de lineaire afbeeldingen f : V $\rightarrow$ W en g : W $\rightarrow$ X.
Dan is de samenstelling van beide afbeeldingen go f : V $\rightarrow$ X ook een lineaire afbeelding.

Bewijs

Stelling 1.4.3 Gegeven de lineaire afbeeldingen f en g: V $\rightarrow$ W en een basis { $\bf e_{\alpha}$ } $\scriptstyle \alpha$ $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \Gamma$ voor de vectorruimte V.
$\displaystyle \forall$ $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \in$ $\displaystyle \Gamma$ : f( $\displaystyle \bf e_{\alpha}$ ) = g( $\displaystyle \bf e_{\alpha}$ ) $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \forall$ $\displaystyle \bf v$ $\displaystyle \in$ V : f( $\displaystyle \bf v$ ) = g( $\displaystyle \bf v$ ) In woorden: een lineaire afbeelding wordt volledig bepaald door haar effect op een basis.

Bewijs
Voorbeeld 1.4.2
Deze stelling heeft een aantal toepassingen. Heel wat fysische, elektrische, mechanische of bouwkundige systemen zijn immers lineair, m.a.w. de afbeelding die het systeem beschrijft als een verband tussen excitaties en responsies is lineair. Men hoeft deze afbeelding dan niet op te meten voor alle mogelijke excitaties maar enkel voor een basis. Een voorbeeld van een constructie kan dit verduidelijken. Als een krachtvector $\bf x_1$ in een punt 1 inwerkt op een stijf raamwerk veroorzaakt dit een verplaatsingsvector $\bf w_1$ in een punt 2. Als een krachtvector $\bf x_2$ in 1 inwerkt dan veroorzaakt deze een verplaatsingsvector $\bf w_2$ in 2. Bij het aanleggen van de kracht $\bf x_1+x_2$ in 1 verkrijgt men dan een verplaatsing $\bf w_1+w_2$ in 2.

Naast deze toepassing levert deze stelling ook een aantal belangrijke inzichten. Als twee lineaire afbeeldingen overeenkomen voor de basisvectoren, dan zijn ze overal dezelfde. De afbeelding van de basisvectoren f( $\bf e_{i}$ ) van een lineaire afbeelding f vormen een voortbrengend deel van het beeld of bereik, m.a.w. Ran f = f(V) = vect {f( $\bf e_{1}$ ),...,f( $\bf e_{n}$ )}. Het is wel mogelijk dat de vectoren f( $\bf e_{i}$ ) geen vrij deel vormen van het bereik van f. Deze inzichten leiden ons tot de zeer belangrijke eerste dimensiestelling.

Stelling 1.4.4 (de eerste dimensiestelling) Gegeven een lineaire afbeelding f van een eindigdimensionale vectorruimte V naar een eindigdimensionale vectorruimte W.
dim Ker f + dim Ran f = dim V

Bewijs
Voorbeeld 1.4.3

Afsluitende opmerking: Tot slot van dit deel over vectorruimten en lineaire afbeeldingen herhalen we dat de begrippen misschien nogal abstract, maar toch zeer fundamenteel en nuttig zijn. Het is dan ook aanbevolen om hiermee ervaring op te doen door oefeningen te maken en door in de volgende paragrafen de band naar deze begrippen te leggen.