Vectorruimten en lineaire afbeeldingen

Lineaire algebra is een van de basisblokken van de toegepaste wetenschappen. De meeste ingenieurstoepassingen steunen er wel ergens op. Zelfs voor niet-lineaire problemen grijpt men vaak terug naar lineaire benaderingen om ze te kunnen oplossen. In dit hoofdstuk wordt de basis gelegd van de lineaire algebra. Zoals in de vorige hoofdstukken vertrekken we weer van een rigoureuze wiskundige aanpak. (Het is altijd van belang om in geval van onduidelijkheden of tegenstrijdige intuities terug te kunnen vallen op een nauwkeurig opgebouwde theorie om een heldere redenering te kunnen voeren en tot een eenduidig besluit te komen). Het uiteindelijke doel blijft echter inzicht op te bouwen en concepten te verwerven die bruikbaar zijn bij het oplossen van problemen. Dit hoofdstuk bestaat uit 4 paragrafen

1.1 Vectorruimten

Deze paragraaf geeft enkele basisdefinities.

1.2 Basis en dimensie

Deze paragraaf bouwt de brug tussen de abstracte wiskundige opvatting van een vectorruimte en een meer intuïtief toepassingsgericht beeld en mondt uit in de belangrijkste stelling 1.2.4 die ruwweg zegt dat we over elke (eindigdimensionale) vectorruimte (dus twee verzamelingen en twee bewerkingen die aan de eigenschappen van de definitie 1.1.1) voldoen) op een meer concrete manier kunnen gaan denken door over te schakelen op coordinaten. Ondertussen worden ook de concepten van lineaire afhankelijkheid, voortbrengend en vrij deel, basis en dimensie ingevoerd.
Tot slot bekijken we hoe we de resultaten uit deze paragraaf kunnen gebruiken om een voortbrengend deel, dat gegeven is onder de vorm van coördinaten, om te zetten in een basis die dezelfde deelruimte voortbrengt. 

 
 

1.3 Rekenen met deelruimten

Deze paragraaf voert twee belangrijke bewerkingen met deelruimten in: de doorsnede en de som van deelruimten. Daarnaast wordt de daarmee geassocieerde dimensiestelling besproken.
Tot slot bekijken we hoe we de doorsnede en een som van deelruimten effectief kunnen bereken indien die deelruimten concreet gegeven zijn door een voortbrengend deel of een homogeen stelsel. 
 

1.4 Lineaire afbeeldingen

Deze paragraaf voert het sleutelbegrip lineaire afbeelding in. Een groot deel van de rest van de cursus is erop gericht inzicht te verwerven in wat een lineaire afbeelding is. Een eerste elementair beeld van wat een lineaire afbeelding is, wordt reeds gegeven in deze paragraaf.
We vertrekken weer van een theoretische definitie: we beschouwen een afbeelding van een vectorruimte naar een andere (of naar zichzelf) en leggen er een lineariteitseis aan op: een lineaire combinatie van vectoren moet afgebeeld worden op dezelfde lineaire combinatie van hun beelden.
Daarna voeren we meer concepten in die leiden tot inzicht in wat een lineaire afbeelding is. De belangrijkste concepten (voor dit hoofdstuk) zijn de kern en het beeld. Dit zijn twee deelruimten die kunnen gedefinieerd worden in de bronruimte en de doelruimte van elke lineaire afbeelding (figuur 1.4.2, figuur 1.4.2b). Een belangrijk resultaat (Stelling 1.4.4) is dat de som van de dimensies van deze deelruimten gelijk is aan de dimensie van de bronruimte. Dit resultaat komt later in verschillende concretere vormen terug.
Stelling 1.4.3 bereidt de invoering van matrixvoorstellingen voor. In dit hoofdstuk wordt zonder coordinaten gewerkt, in algemene vectorruimten. In het volgende hoofdstuk zullen we met concrete voorstellingen werken. Zoals we een vector na keuze van een basis kunnen voorstellen door een stel coordinaten, zullen we een lineaire afbeelding na keuze van twee basissen (in bron- en doelruimte) voorstellen door een matrix. Volgens stelling 1.4.3 kan dit als die matrixvoorstelling de beelden van basisvectoren vastlegt.
Stelling 1.4.1 en 1.4.2 geven twee elementaire resultaten in verband met lineaire afbeeldingen.